সংখ্যাৰ ধাৰণা

স্বাভাৱিক সংখ্যা (natural number):

গণনা কৰিবলৈ ব্যৱহাৰ কৰা সংখ্যাবোৰেই স্বাভাৱিক সংখ্যা। ইয়াত গণনা মানে লোকপিয়লৰ দৰে হিচাপৰ কথা কোৱা হৈছে।
কিছুমান গণিত অভিধানত স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ এনেধৰণৰ সংজ্ঞা কিছুমান দিয়ে: “ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাবোৰকে স্বাভাৱিক সংখ্যা বোলে” বা “যিবোৰ সংখ্যা ভগ্নাংশ ৰূপত নাথাকে সেইবোৰেই স্বাভাৱিক সংখ্যা”। কিন্তু এইবোৰ আচলতে সংজ্ঞা নহয়, এইবোৰ স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ ধৰ্মহে। আমি সততে ব্যৱহাৰ কৰি থকা সংখ্যাবোৰৰ ভিতৰত স্বাভাৱিক সংখ্যাই অতি প্ৰাচীন সংখ্যা। আৰু আমি অংক কৰিবলৈ আৰম্ভ কৰোঁতে শিকিবলগীয়া প্ৰাৰম্ভিক বস্তুখিনিয়েই হৈছে স্বাভাৱিক সংখ্যা। ঋণাত্মক সংখ্যা, অখণ্ড সংখ্যা, ভগ্নাংশ বা পৰিমেয় সংখ্যা আদি বহু পিছত আহিব। গতিকে এইসমূহৰ কথা একো উল্লেখ নকৰাকৈ স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সংজ্ঞাটো দিব পাৰিব লাগিব। সাধাৰণতে পিঅ’নো স্বতঃসিদ্ধ/স্বীকাৰ্যসমূহৰ (Peano axioms) সহায়ত এই সংজ্ঞাটো দিয়া হয়। এইটো পিয়ানো বাদ্যযন্ত্ৰটোৰ কথা কোৱা নাই, জুচেপ্পি পিঅ’নো (Giuseppe Peano) নামৰ গণিতজ্ঞ এগৰাকীয়ে আগবঢ়োৱা কেইটামান স্বতঃসিদ্ধ। স্বতঃসিদ্ধ বা স্বীকাৰ্য হৈছে একোটা উক্তি যিবোৰ নিজে নিজেই সত্য। প্ৰমাণ বা প্ৰশ্ন অবিহনেই যিবোৰক সদায় সত্য বুলি স্বীকাৰ কৰি লোৱা হয়।

স্বাভাৱিক সংখ্যাসমূহ হ’ল: ০, ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ….

কিন্তু, সাধাৰণতে স্বাভাৱিক সংখ্যা বুলিলে ০ক লোৱা নহয়। ০ক ধৰি স্বাভাৱিক সংখ্যাবোৰক পূৰ্ণ সংখ্যা (whole number) বুলি কোৱা হয়। আমিও ইয়াত স্বাভাৱিক সংখ্যা বুলিলে ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, …. আদি সংখ্যাবোৰক বুজিম।

যোগাত্মক বিপৰীত সংখ্যা (additive inverse):
দুটা সংখ্যাৰ যোগফল ০ হ’লে, এটাক আনটোৰ যোগাত্মক বিপৰীত সংখ্যা বোলে।

ইয়াৰ পৰাই ঋণাত্মক সংখ্যাৰ ধাৰণাটো আমাক প্ৰয়োজন হয়। ঋণাত্মক সংখ্যাৰ ধাৰণাটো প্ৰথমে কেনেকৈ মানুহৰ মাজলৈ আহিছিল সেই সম্পৰ্কে এই প্ৰৱন্ধটোত দিয়া হৈছে: অংক নহয় আতংক।

অখণ্ড সংখ্যা (integer):

স্বাভাৱিক সংখ্যা, শূন্য আৰু স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগাত্মক বিপৰীত সংখ্যাবোৰেই অখণ্ড সংখ্যা।

যিকোনো দুটা অখণ্ড সংখ্যা পূৰণৰ এটি ধৰ্ম:

এই ধৰ্মটো কেৱল অখণ্ড সংখ্যাতে নাথাকে, পিছলৈ আন সংখ্যাটো আমি পাম।

হৰণ (division):

যেতিয়া তোমালোকক দুটা সংখ্যা দি এটাই আনটোক হৰণ কৰিবলৈ দিয়া হয়, তেতিয়া সেই সংখ্যা দুটা পূৰ্ণ সংখ্যা দিয়া থাকে। ধৰা aক bৰে হৰণ কৰিবলৈ দিছে। তেতিয়া আমি হৰণ কৰি আন দুটা পূৰ্ণ সংখ্যা, ধৰা q আৰু r পাওঁ। ঠিক এনেদৰে:

a = qb + r

এটা সংখ্যাক আন এটা সংখ্যাৰে হৰণ কৰিলে, আমি যিটো সংখ্যাক হৰণ কৰোঁ তাক ভাজ্য (dividend) বোলে, যিটো সংখ্যাৰে হৰণ কৰোঁ তাক ভাজক (divisor), হৰণ কৰি যিটো ফল পাওঁ তাক ভাগফল (quotient), আৰু যিটো বাকী পাওঁ তাক ভাগশেষ বা বাকী (remainder) বুলি কোৱা হয়। ইয়াত a ভাজ্য, b ভাজক, q ভাগফল, r ভাগশেষ। এই r টোৰ এটা বিশেষ ধৰ্ম আছে।

যদি r টো ০ হয়, তেন্তে a = qb, আৰু তেতিয়া aক bৰে হৰণ যায় বুলি কোৱা হয়।

[“ঋণাত্মকৰ হৰণ” শীৰ্ষক পাঠটিত সকলো অখণ্ড সংখ্যাৰে হৰণৰ বিষয়ে বহলাই আলোচনা কৰা হৈছে।]

হৰণ কাৰ্যটো হ’ল পৌণঃপুনিক বিয়োগ। মানে, aৰ পৰা b পৰিমাণ বাৰে বাৰে বিয়োগ কৰি থকা হয়। বিয়োগ কৰি কৰি আমি ঋণাত্মক সংখ্যা পোৱাৰ আগত ৰৈ দিওঁ। মানে r টো হ’ল b তকৈ সৰু অঋণাত্মক সংখ্যা।

মনত ৰাখিবা: ভাগশেষটো সদায় শূন্য হ’ব নতুবা ধণাত্মক সংখ্যা হ’ব আৰু ইয়াত সি ভাজকতকৈ সৰু হ’ব।

* ভাজ্য ০ হ’লে ভাগফল আৰু ভাগশেষ দুয়োটা শূন্য। যেনে: ০ক ৫ৰে হৰণ কৰিলে ০ = ০ × ৫ + ০।

* ভাজক ০ হ’লে হৰণফল নিৰ্ণয় কৰিব নোৱাৰি। কাৰণ, যদি ৫ক ০ৰে হৰণ কৰোঁ, তেন্তে ৫ৰ পৰা ০ বাৰে বাৰে বিয়োগ কৰি থাকিব লাগিব। যিমানবাৰ বিয়োগ কৰিলেও আমি বাকী হিচাপে ০তকৈ সৰু ধণাত্মক সংখ্যা কেতিয়াও নাপাম। ৫-০=৫, ৫-০=৫, ৫-০=৫, ….. , কিন্তু বাকীটো কমি নাযায়। গতিকে হৰণফলটো নিৰ্ণয় কৰিব নোৱাৰি।